积分

[TOC] 定义 定义 定积分作为黎曼和的极限 设f时定义在区间[a,b]的一个函数, 对于[a,b]的任意划分P,设\(c_k\)是在子区间\([x_{k-1},x_k]\)上任意选取的数. 如果存在一个数I,使得不论划分P怎样和\(c_k\)如何选取,都有 \[\lim_{||P|| \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(c_k)\Delta x_k = I\] 则称f在[a,b]上是可积的,而I称为f在区间[a,b]上的定积分 \[I=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\] 性质 定积分性质 \(\begin{align} &\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=-\int_b^af(x)\mathrm{d}x\\ &\int_a^af(x)\mathrm{d}x=0\\ &\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^cf(x)\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\mathrm{d}x\\ &\int_a^bcf(x)\mathrm{d}x=c\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\\ &\int_a^b(f(x)+g(x))\mathrm{d}x=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x+\int_a^bg(x)\mathrm{d}x \end{align}\) 微积分基本定理 微积分第一基本定理(不定积分为反导数) \[\frac{d}{d x}\int_a^xf(t)\mathrm{d}t=f(x)\] Proof: \(\begin{align}...

导数的应用

相关变化率 定义 相关变化率 如果Q为某个量,那么Q的变化率为\(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\) 解题 隐函数求导 对涉及变化率的问题进行建模 变量对\(t\)进行求导,\(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\)使用已知条件v(变化率)进行替换 对方程进行求解变量之间的相关变化率 物理中的应用 速度 \(v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\) 加速度 \(a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\) 急推 \(z=\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}\) 函数的极值 函数的极值 如果函数\(f\)在定义域\(c\)点取到局部最小值或局部最大值,那么 \(f'(c)=0 或 f'(c)不存在\) 中值定理 罗尔定理 假设函数\(f\)在闭区间\([a,b]\)内连续,在开区间\((a,b)\)可导,如果\(f(a)=f(b)\),那么在开区间\((a,b)\)内至少存在一点\(c\),使得 \[f'(c)=0\] 中值定理 假设函数\(f\)在闭区间\([a,b]\)内连续,在开区间\((a,b)\)可导,如果\(f(a)=f(b)\),那么在开区间\((a,b)\)内至少存在一点\(c\),使得 \[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] Proof:...

导数

定义 定义 导函数 函数f(x)关于变量x的导数是函数f’,它在x处的值为 \[f'(x)=\lim_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\] 如果该极限存在 导数的性质 常数倍 \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(cu)=c\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\] 加 \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u+v)=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\] 乘 \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(uv)=u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}+v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\] Proof: \(\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(uv)&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta (uv)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}(u\frac{\Delta v}{\Delta x}+v\frac{\Delta u}{\Delta x}+\frac{\Delta u \Delta v}{\Delta...

极限和连续

极限的定义 定义 极限的正式定义 f(x)定义在可能不包含\(x_0\)的开区间上, 当x趋于\(x_0\)时f(x)趋于极限L,记为 \[\lim_{x \to x_0}{f(x)}=L\] 如果,对任何数\(\epsilon>0\),存在相应的数\(\delta>0\)使得对所有满足\(0<|x-x_0|<\delta\)的x,有 \(|f(x)-L|<\epsilon\) 定义 右侧极限和左侧极限 设f(x)定义在(a,b)上, a<b,如果在区间(a,b)内趋于a时f(x)任意接近地趋近于L,f在a有右侧极限,记作 \[\lim_{x \to a^+}f(x)=L\] 设f(x)定义在(c,a)上, c<a,如果在区间(c,a)内趋于a时f(x)任意接近地趋近于L,f在a有左侧极限,记作 \[\lim_{x \to a^-}f(x)=L\] 定理 单侧极限和双侧极限的关系 当\(x \to c\)时函数f(x)有极限当且仅当f的左侧极限和右侧极限存在且相等: \[\lim_{x \to c}=L...

平面向量

计算 位置向量等同于 \(v=<x_2-x_1,y_2-y_1>\) 向量长度,方向,夹角 向量长度 \[\lvert v\lvert =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\] 向量方向 \[单位向量\frac{\lvert v\lvert }{v}与v同方向\] 分解向量为方向和大小表示 \[v=\lvert v\lvert \frac{v}{\lvert v\lvert }\] 向量夹角 \[cos(\theta)=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\lvert u \lvert \lvert v\lvert }=\frac{u\cdot v}{\lvert u\lvert \lvert v\lvert }\]...