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微积分(3):平面向量->行星运动和人造卫星

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平面向量

计算

位置向量等同于 \(v=<x_2-x_1,y_2-y_1>\)

向量长度,方向,夹角

向量长度 \(\lvert v\lvert =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

向量方向 \(单位向量\frac{\lvert v\lvert }{v}与v同方向\)

分解向量为方向和大小表示 \(v=\lvert v\lvert \frac{v}{\lvert v\lvert }\)

向量夹角 \(cos(\theta)=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\lvert u \lvert \lvert v\lvert }=\frac{u\cdot v}{\lvert u\lvert \lvert v\lvert }\)

内积(点积)

点积的含义 \(u\cdot v=\lvert u\lvert \lvert v\lvert cos(\theta)\)

点积计算公式 \(u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2\)

Proof:

设\(w=u-v\)

根据余弦定理\({\lvert w\lvert}^2={\lvert u\lvert }^2+\lvert v\lvert ^2-2\lvert u\lvert \lvert v\lvert cos(\theta)\)

其中: \(\lvert u\lvert ^2=u_1^2+u_2^2\\ \lvert v\lvert ^2=v_1^2+v_2^2\\ \lvert w\lvert ^2=w_1^2+w_2^2\\\) 代入得\(cos(\theta)=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\lvert u\lvert \lvert v\lvert }=\frac{u\cdot v}{\lvert u\lvert \lvert v\lvert }\)

向量投影 \(\mathrm{proj}_vu=(\frac{u\cdot v}{\lvert v\lvert ^2})v\)

Proof:
\(\begin{align} \mathrm{proj}_vu&=(\lvert u\lvert cos\theta)\frac{v}{\lvert v\lvert }\\ &=(\frac{u\cdot v\cdot\lvert u\lvert }{\lvert u\lvert \lvert v\lvert })\frac{v}{\lvert v\lvert }\\ &=(\frac{u\cdot v}{\lvert v\lvert ^2})v \end{align}\)

分解向量为正交向量的和 \(u=\mathrm{proj}_vu+(u-\mathrm{proj_vu})\)

向量值函数

极限和连续

极限

设\(r(t)=f(t)i+g(t)j\),若 \(\lim_{t\to c}f(t)=L_1 \quad \& \quad \lim_{t \to c}g(t)=L_2\) 则\(r(t)\)当t趋于c时的极限是 \(\lim_{t\to c}r(t)=L=L_1i+L_2j\)

连续

一个向量函数\(r(t)\)在定义域内的一点t=c是连续的, 如果 \(\lim_{t \to c}r(t)=r(c)\)

导数和积分

导数 \(r'(t)=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{r(t+\Delta t)-r(t)}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}i+\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}j\)

求导法则
\(\begin{aligned} &\frac{d}{d t} C=0\\ &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\mathrm{u}(t)]=c \mathbf{u}^{\prime}(t)\\ &\frac{d}{d t}[\mathbf{u}(t)+\mathbf{v}(t)]=\mathbf{u}^{\prime}(t)+\mathbf{v}^{\prime}(t)\\ &\frac{d}{d t}[\mathbf{u}(t)-\mathbf{v}(t)]=\mathbf{u}^{\prime}(t)-\mathbf{v}^{\prime}(t)\\ &\frac{d}{d t}[\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}(t)]=\mathbf{u}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}^{\prime}(t)\\ &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\mathbf{u}(f(t))]=f^{\prime}(t) \mathbf{u}^{\prime}(f(t)) \end{aligned}\)
Proof:

向量点积的求导法则

设\(u=u_1(t)i+u_2(t)j\),\(v=v_1(t)i+v_2(t)j\)
\(\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}\right) \\ &=u_{1}^{\prime} v_{1}+u_{2}^{\prime} v_{2}+u_{1} v_{1}^{\prime}+u_{2} v_{2}^{\prime} \\ &=\mathbf{u}^{\prime} \cdot \mathbf{v}+\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}^{\prime} \end{aligned}\)

不定积分 \(\int \mathbf{r}(t) \mathrm{d} t=\mathbf{R}(t)+\mathbf{C}\) 定积分 \(\int_{a}^{b} \mathbf{r}(t) \mathrm{d} t=\left(\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathbf{i}+\left(\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t\right) \mathbf{j}\)

抛射物体建模

抛物线

微分方程:\(\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-g\vec{j}\)

初值条件:\(\vec{r}(0)=\vec{r_0}\) , \(\frac{d\vec{r}}{dt}=v_0\)

解得\(\vec{r}=(v_0cos\theta)t\vec{i}+((v_0sin\theta )t-\frac12gt^2)\vec{j}\)

带有线性阻力(空气阻力)的抛射运动

微分方程:\(\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-g\vec{j}-k\frac{d\vec{r}}{dt}\)

初值条件:\(\vec{r}(0)=0\) , \(\frac{dr}{dt}\lvert _{t=0}=\vec{v_0}=(v_0cos\theta)\vec{i}+(v_0sin\theta)\vec{j}\)

导出方程:(解微分方程中,根据初值确定C分解运动为水平方向和竖直方向,分别解两个微分方程) \(x=\frac{v_0}{k}(1-\mathrm{e}^{-kt})cos\theta\\ y=\frac{v_0}{k}(1-\mathrm{e}^{-kt})sin\theta+\frac{g}{k^2}(1-kt-\mathrm{e}^{-kt})\)

以下暂无

空间向量

计算

向量长度,方向, 夹角

内积(点积)

向量积(叉积)

数量积(箱积)

空间中的直线和面

直线

平面

二次曲面