反常积分

定义

定义 有穷积分限的反常积分

有穷积分限的积分是反常积分

1.如果f(x)在\([a,\infty)\)是连续的,则

\[\int_a^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to \infty}\int_a^{N}f(x)\mathrm{d}x\]

2.如果f(x)在\((-\infty,b]\)是连续的,则

\[\int_{\infty}^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to -\infty}\int_N^bf(x)\mathrm{d}x\]

3.如果f(x)在\((-\infty,\infty)\)是连续的,则

\[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x\]

定义 无界不连续函数的反常积分

1.如果f(x)在\([a,b)\)是连续的,则

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to b^-}\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x\]

2.如果f(x)在\((a,b]\)是连续的,则

\[\int_{a}^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to a^+}\int_N^bf(x)\mathrm{d}x\]

3.如果f(x)在\((a,b)\)是连续的,则

\[\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}x\]