导数的应用

相关变化率

定义 相关变化率

如果Q为某个量,那么Q的变化率为\(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\)

解题 隐函数求导

  1. 对涉及变化率的问题进行建模
  2. 变量对\(t\)进行求导,\(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\)使用已知条件v(变化率)进行替换
  3. 对方程进行求解变量之间的相关变化率

物理中的应用

速度 \(v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\)

加速度 \(a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\)

急推 \(z=\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}\)

函数的极值

函数的极值

如果函数\(f\)在定义域\(c\)点取到局部最小值或局部最大值,那么 \(f'(c)=0 或 f'(c)不存在\)

中值定理

罗尔定理

假设函数\(f\)在闭区间\([a,b]\)内连续,在开区间\((a,b)\)可导,如果\(f(a)=f(b)\),那么在开区间\((a,b)\)内至少存在一点\(c\),使得

\[f'(c)=0\]

中值定理

假设函数\(f\)在闭区间\([a,b]\)内连续,在开区间\((a,b)\)可导,如果\(f(a)=f(b)\),那么在开区间\((a,b)\)内至少存在一点\(c\),使得

\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Proof:

let \(g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)

that \(g(a)=g(b)=f(a)\)

According to Rolle Theorem

There is c let \(g'(x)=0\)

which is

\[g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

最优化

解决最优化问题

  1. 分析问题,数学建模
  2. 求导使用函数极值解决最优化问题

线性化

使用线性化进行估值

\[f(a+\Delta x) \approx f(a)+f'(a)\Delta x\]

1.4

Newton法

Newton法

\(a\)为\(f(x)=0\)的近似解

\(b=a-\frac{f(a)}{f'(a)}\) \(b\)为更优解

1.5