极限和连续

极限的定义

定义 极限的正式定义

f(x)定义在可能不包含\(x_0\)的开区间上, 当x趋于\(x_0\)时f(x)趋于极限L,记为

\[\lim_{x \to x_0}{f(x)}=L\]

如果,对任何数\(\epsilon>0\),存在相应的数\(\delta>0\)使得对所有满足\(0<|x-x_0|<\delta\)的x,有 \(|f(x)-L|<\epsilon\)

定义 右侧极限和左侧极限

设f(x)定义在(a,b)上, a<b,如果在区间(a,b)内趋于a时f(x)任意接近地趋近于L,f在a有右侧极限,记作

\[\lim_{x \to a^+}f(x)=L\]

设f(x)定义在(c,a)上, c<a,如果在区间(c,a)内趋于a时f(x)任意接近地趋近于L,f在a有左侧极限,记作

\[\lim_{x \to a^-}f(x)=L\]

定理 单侧极限和双侧极限的关系

当\(x \to c\)时函数f(x)有极限当且仅当f的左侧极限和右侧极限存在且相等:

\[\lim_{x \to c}=L \Leftrightarrow \lim_{x \to c-}=L 且\lim_{x \to c+}=L\]

定义 无穷极限

x趋于\(x_0\)时f(x)趋于无穷,记作

\[\lim_{x \to c}=\infty\]

如果对于任何正实数B存在相应的\(\delta>0\),使得对一起满足 \(0<|x-x_0|<\delta\) 的x,有f(x)>B

x趋于\(x_0\)时f(x)趋于负无穷,记作

\[\lim_{x \to c}=-\infty\]

如果对于任何正实数B存在相应的 \(\delta>0\) ,使得对一起满足 \(0<|x-x_0|<\delta\) 的x,有f(x)>-B

定义 水平渐近线和垂直渐近线

直线\(y=b\)是函数\(y=f(x)\)图形的水平渐近线,如果有

\[\lim_{x \to \infty}f(x)=b或\lim_{x \to -\infty}f(x)=b\]

直线\(x=a\)是函数\(y=f(x)\)图形的水平渐近线,如果有

\[\lim_{x \to a^+}f(x)=\pm\infty或\lim_{x \to a^-}f(x)=\pm\infty\]

极限的性质

加减乘除

定理 极限法则

如果L,M,c,k为实数,且 \(\lim_{x \to x_0}f(x)=L\)和\(\lim_{x \to x_0}g(x)=M\)
\(\begin{align} &\lim_{x \to c}(f(x)+g(x))=L+M\\ &\lim_{x \to c}(f(x)-g(x))=L-M\\ &\lim_{x \to c}(f(x) \times g(x))=L \times M\\ &\lim_{x \to c}(k \cdot f(x))=k \cdot f(x)\\ &\lim_{x \to c}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{L}{M},M \neq 0\\ &\lim_{x \to c}(f(x))^\frac{r}{s}=L^\frac{r}{s} \end{align}\)

求极限

多项式

定理 使用代入法求多项式极限 如果

\[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0\]

那么

\[\lim_{x \to c}P(x)=P(c)\]

有理函数

定理 代入法求有理函数的极限

如果P(x)和Q(x)都是多项式且Q(c)\(\neq\)0,那么

\[\lim_{x \to c}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(c)}{Q(c)}\]

夹逼定理

定理 夹逼定理

如果在包含c的某个开区间中\(x=c\)处除外的所有x,有

\[g(x) \leq f(x) \leq h(x)\]

又假设

\[\lim_{x \to c}g(x)=\lim_{x \to c}h(x)=L\]

那么

\[\lim_{x \to c}f(x)=L\]

三角函数

定理 sin的极限

\[\lim_{\theta \to 0}\frac{sin \theta}{\theta}=1\]

Proof:

1.2

​ The figure shows

\[\frac{1}{2}sin\theta < \frac{1}{2}\theta < \frac{1}{2}tan\theta\]

​ Sort the expression and get

\[1>\frac{sin\theta}{\theta}>cos\theta\]

​ Also because

\[\lim_{x \to 0}cos\theta=1\]

​ Thus

\[\lim_{x \to 0}{\frac{sin\theta}{\theta}}=1\]

定理 cos的极限

\[\lim_{x \to 0}\frac{1-cos (x)}{x}=0\]

Proof:
\(\begin{align} \lim_{x \to 0}\frac{cos (x)-1}{x}&=\lim_{x \to 0}\frac{1-cos^2(x)}{x}\times\frac{1}{1+cos(x)}\\ &=\lim_{x \to 0}sin(x)\times\frac{sin(x)}{x}\times \frac{1}{1+cos(x)}\\ &=0 \times1\times\frac{1}{1+1}\\ &=0 \end{align}\)

不定式

定理 L’Hopital法则

假定\(f(x_0)=g(x_0)=0或\pm\infty\)

\[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Proof:

Let

\[F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]\]

That

\[F(a)=F(b)=0\]

According to Median Value Theorem,there is figure ‘c’ let

\[F'(c)=0\]

Which is

\[\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\]

Then compelet the proof of Cauthy Median Value Theorem

Let x right of \(x_0\)

Accourding to CMVT, there is c between x and \(x_o\) let

\[\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}\]

because \(f(x_0)=g(x_0)=0\)

\[\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(x)}{g(x)}\]

because \(x_0<c<x\)

\[x_0 \to x \Rightarrow c \to x\]

Thus

\[\lim_{x \to x_0+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0+}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

The same

\[\lim_{x \to x_0-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0-}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Thus

\[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

then complete proof of the \(\frac{0}{0}\)form of L’Hopital Theorem

Let

\[F(x)=\frac{1}{f(x)},G(x)=\frac{1}{g(x)}\]

That

\[\lim_{x \to x_0}F(x)=\infty,\lim_{x \to x_0}G(x)=\infty\]

Suppose

\[\lim_{x \to x_0}\frac{F(x)}{G(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{F'(x)}{G'(x)}\] \[\lim_{x \to x_0}{\frac{g(x)}{f(x)}}=\lim_{x \to x_0}{\frac{-\frac{1}{f^2(x)}f'(x)}{-\frac{1}{g^2(x)}g'(x)}}=\lim_{x \to x_0}\frac{g^2(x)f'(x)}{f^2(x)g'(x)}\] \[\lim_{x \to x_0}{\frac{g(x)}{f(x)}}=\lim_{x \to x_0}{\frac{g'(x)}{f'(x)}}\]

Which is the \(\frac{0}{0}\)form of L’hopital Theorem

Then we have proof the suppose, which is

\[\lim_{x \to x_0}\frac{F(x)}{G(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{F'(x)}{G'(x)}\]

The \(\frac{\infty}{\infty}\)form of L’Hopital Theorem

连续性的定义

定义 在一点的连续性

内点: 函数f(x)在定义域的内点c处是连续的,如果

\[\lim_{x \to c}f(x)=f(x)\]

端点: 函数载器定义域的左端点a或右端点b是连续的,如果

\[\lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)\quad\lim_{x \to b^-}f(x)=f(b)\]

连续性的性质

加减乘除

定理 连续函数的性质

如果函数f和g在x=c连续,下列函数在x=c连续

\[\begin{align} &f + g \\ &f - g \\ &f \cdot g \\ &\frac{f}{g},倘若g(c)\neq0\\ &f \circ g,倘若f在g(c)连续 \end{align}\]

连续函数的中值定理

定理 连续函数的中值定理

在闭区间[a,b]上连续的函数一定取到f(a)和f(b)之间的每一个值

连续性和可导性

定理 可导性蕴含着连续性

如果f在x=c有导数,那么f在x=c连续