极坐标

定义及其图形

极坐标
\(P(r,\theta)\)

r:从O到P的有向距离

\(\theta\):从初始射线到射线OP的有向角

r=a 中心为O半径为r的圆周

\(\theta\)=a 过O且与初始线段成角a的一条直线

对称性

  1. 关于x轴对称 \((r,\theta) \Rightarrow (r,-\theta)\)
  2. 关于y轴对称 \((r,\theta) \Rightarrow (-r,-\theta)\)
  3. 关于O对称 \((r,\theta) \Rightarrow (-r,\theta)\)

笛卡尔坐标系和极坐标系的转换
\(x=r\cos(\theta)\\ y=r\sin(\theta)\\ x^2+y^2=r^2\\ \frac{y}{x}=\tan(\theta)\)

极坐标的微积分

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta+f(\theta)\sin\theta}\]
\[A=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta\]

2.3

\[L=\int_{\theta_0}^{\theta_1} \sqrt{f(\theta)^2+f'(\theta)^2}dx\]

通过把极坐标写为参数形式导出