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怎样解题

怎样解题

每个解题者都会用到的方法, 作者进行了普遍化, 得出了通用的解题方法, 解决广义上的问题, 但本书中主要为数学问题.

你必须理解题目

  1. 未知量是什么, 已知数据是什么?

  2. 条件是什么?

  3. 条件可能满足吗?

    条件是否足以确定已知量?或者它不够充分?或者多余?或者矛盾?

  4. 画一张图

    • 多个细节同时考虑时容易遗忘, 画一张图然后再一个接一个地研究各个方面的细节.
    • 几何作图题中, 画一个假设的图形, 假定他的各个部分都满足题目的假设
    • 实际做图中的细节
      1. 做一张相对精确的图可以节省时间, 我们要集中注意力与那些逻辑联系, 并意识到图形仅是一种辅助的工具
      2. 元素必须按照要求的关系组合起来
      3. 不能在图形中给出任何不恰当的特殊化
      4. 强调不同线段的不同作用

  5. 引入适当的符号

    • 数学符号组成的语言更有益于思维, 建立方程将普通的语言翻译成数学符号表示的语言
    • 一个好的标记应该便于记忆, 便于辨别
    • 使用连续字母表示相互接近的对象
    • 使用同类字母表示同一类的对象(三角形中的一个角, 角的对边, 角所对应的顶点)

  6. 分解和重组

    • 分解和重组条件, 更深入地研究细节
    • 深入研究细节, 但是过多细节对思维是一种负担
    • 将条件的每一个部分分开, 并研究每一个部分本身
    • 尝试用新的方法重组它的元素, 保持已知量\未知量, 改变其他(条件\已知量\未知量)
    • 只保留条件的一部分, 而丢掉其他部分那么未知量可以确定到什么程度, 它能怎样变化?

  7. 题目类型:

    求解题(找到某个对象), 证明题(证明或推翻定理的结论), 实际题目(未知量, 条件, 已知量比较复杂, 限定没有那么清晰)

    实际题目:

    • 实际题目是具有相当经验性质的知识
    • 你是否用到了对解答相当有用的数据?
    • 你是否用到了对解答有显著影响的条件?
    • 利用模型将其转化为一个数学问题, 获取近似解

    证明题方法论:归谬法和间接证明

    • 归谬法: 通过有一个假设中得出明显的谬误, 从而证明它是不成立的
    • 间接证明: 通过证明与一个论断相反的假设不成立, 从而证实这个论断的正确性

找出已知量和未知量之间的关系, 达到一个解题方案

多思出上策

  1. 你以前见过它吗?

    动员脑中的相关知识

    想出一种解法需要一定的运气, 积累题目, 汲取前人的智慧能在很大程度上帮助你解题.

  2. 你知道一道与它有关的题目或定理吗?

    • 观察未知量

      尽量想出一道具有相同未知量的题目

    • 普遍化

      普遍化是从对一个对象的考虑过渡到同类对象在内的一系列对象的考虑

      基于洞察了超越表面现象的东西, 更普遍的问题可能更容易解决

      方法论: 归纳与数学归纳

      归纳是通过观察和组合特殊的例子来法相普遍规律的过程

      • 当观察并推测到一条可能的规律时, 可以进一步积累实验事实, 或开始从中理出更深刻的事实
      • 用进一步的特例检验规律
      • 将我们观察到的规律用准确的数学语言描述
      • 数学归纳: 从一个任意的n值过渡到下一个n+1

    • 特殊化

      从考虑一系列给定对象构成的集合过渡到考虑此集合的一个子集或者仅仅一个对象

      极端例子具有启发性

    • 类比

      类似的物体在他们相应部分的特定关系上相一致

      使用类比推断可能预见答案, 可利用类比题目的方法和结果

      (例: 解立体几何题目时考虑类似的平面几何题目)

    • 变化题目

      不断尝试变化题目, 从不同立场, 从不同方面来观察问题, 你能重新叙述题目吗?

      研究对象的性质, 从而获得启发

      通过变化题目, 将注意力放在不同的对象上保持我们的兴趣

  3. 有一道题目和你的题目有关而且以前解过

    • 辅助题目可能更有启发性或美学上的魅力(或仅仅因为它是新的)

    • 利用辅助题目的结果和方法, 可能引入一个辅助元素

    • 对于等价的辅助题目, 注意检查引入的新特性

  4. 回到定义上去

    定义: 用其它一些被认为以熟知的概念对它的意义进行表述

    • 利用定义具有的性质
    • 消去专业术语, 得到一个完全没有这些术语的重新表述
    • 一个对象可能拥有多个定义, 应选择合适的定义
    • 考虑题中的所有概念, 考虑与它相关的性质
    • 探索在专业术语背后的数学对象之间的真正联系

  5. 你能从已知数据中得出一些有用的东西吗?

    我们通过找到已知量和未知量之间的联系来解决问题

    可以从已知量开始, 也可以从未知量开始

    方法论: 倒着干

    1. 从要求的东西开始, 假设要寻找的已经找到了
    2. 研究要求的结论可以根据什么前提得出
    3. 再研究那个前提又是根据什么前提得出的
    4. 最终遇到了某些已知的东西
    5. 沿着我们的步骤反回去, 完成论证

    方法论: 探索式论证

    • 在发现解答的过程中, 我们常常必须满足于一个可信的猜测, 假设它成立, 再根据它得出结论, 最终证明猜测或推翻它
    • 探索式三段论: 如果A则B, B成立, A更可信
    • 进展的标志(猜测的结果中蕴含了已知条件或数据…)引导我们走向正确的方向, 节约时间

  6. 你用到所有的数据和条件了吗?

  7. 如果你不能解题目

    • 尝试解决相关的问题

    • 尝试解决更容易着手的相关题目

    • 休息一下, 让自己的潜意识工作

执行你的方案

检查已经得到的结果

  1. 你能检验这个结果吗?

    特殊化检验, 数据变换检验(因变量增大, 变量增大或减小吗?), 量纲检验

  2. 你能以不同的方式推到这个结果吗?

    通过已经推导出的结果中寻找更简短解法的线索

  3. 你能利用这个题目的结果或这种方法吗?