无穷级数

数列的极限 定义 定义 收敛,发散,极限 极限序列{\(a_n\)}收敛到数L,如果每个正数\(\varepsilon\),都对应一个整数,使得对所有n: \[n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon\] 如果这样的数L不存在,我们说{\(a_n\)}发散. 若{\(a_n\)}收敛到数L,我们记成 \[\lim_{n\to\infty}a_n=L\] 或简单记成\(a_n\to L\),并称L是序列{\(a_n\)}的极限 无穷级数 发散级数 发散级数的第n项判别法 若\(\lim_{n \to \infty}a_n\)不存在或异于零,则级数\(\sum_{n=1}^\infty a_n\)发散 收敛级数 收敛级数的第n项极限 若\(\sum_{n=1}^\infty a_n\)收敛,则\(a_n \to 0\) 几何级数 几何级数 \[a_n=ar^{n-1}\\ S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\\\] Proof: \[\begin{align}...

反常积分

定义 定义 有穷积分限的反常积分 有穷积分限的积分是反常积分 1.如果f(x)在\([a,\infty)\)是连续的,则 \[\int_a^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to \infty}\int_a^{N}f(x)\mathrm{d}x\] 2.如果f(x)在\((-\infty,b]\)是连续的,则 \[\int_{\infty}^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to -\infty}\int_N^bf(x)\mathrm{d}x\] 3.如果f(x)在\((-\infty,\infty)\)是连续的,则 \[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x\] 定义 无界不连续函数的反常积分 1.如果f(x)在\([a,b)\)是连续的,则 \[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to b^-}\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x\] 2.如果f(x)在\((a,b]\)是连续的,则 \[\int_{a}^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to a^+}\int_N^bf(x)\mathrm{d}x\] 3.如果f(x)在\((a,b)\)是连续的,则 \[\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}x\]

微分方程

可分离变量的微分方程 指数变化率 如果y以正比与当前数量的速率变化\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ky\)并且当t=0时\(y=y_0\),则 \[y=y_0\mathrm{e}^{kt}\] k为速率常数,k>0表示增长, k<0表示衰减 Proof: Solve differential equations with separable varaibles 1.separate varaibles \[\begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}&=ky\\ \frac{1}{y}\mathrm{dy}&=k\mathrm{d}t \end{align}\] 2.Intefral at both ends of the equation \[\begin{align} \int \frac{1}{y}\mathrm{dy}&=\int k\mathrm{d}t\\...

积分的应用

计算体积 切片法 旋转轴为\(y=h\) \[V=\int_a^b\pi (y-h)^2 dx\] 壳法 旋转轴为\(x=h\) \[V=\int_a^b2\pi(x-h)ydx\] 椎体体积 椎体体积 \[V=\int_0^hA(x)dx=\frac{1}{3}Ah\] Proof: \(\begin{align} \frac{x}{l}=\frac{h}{L}\\ \Rightarrow \frac{A}{A(x)}=&(\frac{L}{l})^2\\ \Rightarrow A(x)=\frac{Ax^2}{h^2}\\ V=&\int _0^hA(x)dx\\ =&\int _0^h\frac{A}{h^2}x^2dx\\ =&\frac{1}{3}Ah \end{align}\) 计算弧长 \[L=\int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx\\ L=\int_{t_0}^{t_1} \sqrt{(\frac{dy}{dt})^2+(\frac{dx}{dt})^2}dx\\...

积分

[TOC] 定义 定义 定积分作为黎曼和的极限 设f时定义在区间[a,b]的一个函数, 对于[a,b]的任意划分P,设\(c_k\)是在子区间\([x_{k-1},x_k]\)上任意选取的数. 如果存在一个数I,使得不论划分P怎样和\(c_k\)如何选取,都有 \[\lim_{||P|| \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(c_k)\Delta x_k = I\] 则称f在[a,b]上是可积的,而I称为f在区间[a,b]上的定积分 \[I=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\] 性质 定积分性质 \(\begin{align} &\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=-\int_b^af(x)\mathrm{d}x\\ &\int_a^af(x)\mathrm{d}x=0\\ &\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^cf(x)\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\mathrm{d}x\\ &\int_a^bcf(x)\mathrm{d}x=c\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\\ &\int_a^b(f(x)+g(x))\mathrm{d}x=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x+\int_a^bg(x)\mathrm{d}x \end{align}\) 微积分基本定理 微积分第一基本定理(不定积分为反导数) \[\frac{d}{d x}\int_a^xf(t)\mathrm{d}t=f(x)\] Proof: \(\begin{align}...