认识天性

检索, 检测 ==回想事实, 概念或事件== ==回忆新知识的难度越大, 收效就越大== 一个人对已知掌握的越好, 他就越能用有创造力的方法饥饿绝新问题 核心概念是什么? 能不能把定义讲出来? 哪些术语或概念是我没接触过的? 我会如何定义他们? 这些概念和我已经学过的东西有什么联系? 有间隔地安排检索练习 ==有意识地让两次学习之间出现一些遗忘== 穿插安排多个主题进行学习, 轮换交替可以不断地刷新你对每个主题的记忆 学习时穿插安排不同类型的问题 先练习好基本功 轮换接触不同类型的解法 通过多样化练习学到的东西会被大脑变成更灵活的表征, 使用的范围更广 持续不断地考验自己辨别问题类型的能力 熟练地从不同类型的问题中提炼出基本原理 细化, 理解新知识 理解资料的含义 把它和已知联系起来 观察不同的案例寻找概念的核心 联系与具体事务相关地例子...

无穷级数

数列的极限 定义 定义 收敛,发散,极限 极限序列{\(a_n\)}收敛到数L,如果每个正数\(\varepsilon\),都对应一个整数,使得对所有n: \[n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon\] 如果这样的数L不存在,我们说{\(a_n\)}发散. 若{\(a_n\)}收敛到数L,我们记成 \[\lim_{n\to\infty}a_n=L\] 或简单记成\(a_n\to L\),并称L是序列{\(a_n\)}的极限 无穷级数 发散级数 发散级数的第n项判别法 若\(\lim_{n \to \infty}a_n\)不存在或异于零,则级数\(\sum_{n=1}^\infty a_n\)发散 收敛级数 收敛级数的第n项极限 若\(\sum_{n=1}^\infty a_n\)收敛,则\(a_n \to 0\) 几何级数 几何级数 \[a_n=ar^{n-1}\\ S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\\\] Proof: \[\begin{align}...

反常积分

定义 定义 有穷积分限的反常积分 有穷积分限的积分是反常积分 1.如果f(x)在\([a,\infty)\)是连续的,则 \[\int_a^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to \infty}\int_a^{N}f(x)\mathrm{d}x\] 2.如果f(x)在\((-\infty,b]\)是连续的,则 \[\int_{\infty}^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to -\infty}\int_N^bf(x)\mathrm{d}x\] 3.如果f(x)在\((-\infty,\infty)\)是连续的,则 \[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x\] 定义 无界不连续函数的反常积分 1.如果f(x)在\([a,b)\)是连续的,则 \[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to b^-}\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x\] 2.如果f(x)在\((a,b]\)是连续的,则 \[\int_{a}^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{N \to a^+}\int_N^bf(x)\mathrm{d}x\] 3.如果f(x)在\((a,b)\)是连续的,则 \[\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}x\]

微分方程

可分离变量的微分方程 指数变化率 如果y以正比与当前数量的速率变化\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ky\)并且当t=0时\(y=y_0\),则 \[y=y_0\mathrm{e}^{kt}\] k为速率常数,k>0表示增长, k<0表示衰减 Proof: Solve differential equations with separable varaibles 1.separate varaibles \[\begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}&=ky\\ \frac{1}{y}\mathrm{dy}&=k\mathrm{d}t \end{align}\] 2.Intefral at both ends of the equation \[\begin{align} \int \frac{1}{y}\mathrm{dy}&=\int k\mathrm{d}t\\...

积分的应用

计算体积 切片法 旋转轴为\(y=h\) \[V=\int_a^b\pi (y-h)^2 dx\] 壳法 旋转轴为\(x=h\) \[V=\int_a^b2\pi(x-h)ydx\] 椎体体积 椎体体积 \[V=\int_0^hA(x)dx=\frac{1}{3}Ah\] Proof: \(\begin{align} \frac{x}{l}=\frac{h}{L}\\ \Rightarrow \frac{A}{A(x)}=&(\frac{L}{l})^2\\ \Rightarrow A(x)=\frac{Ax^2}{h^2}\\ V=&\int _0^hA(x)dx\\ =&\int _0^h\frac{A}{h^2}x^2dx\\ =&\frac{1}{3}Ah \end{align}\) 计算弧长 \[L=\int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx\\ L=\int_{t_0}^{t_1} \sqrt{(\frac{dy}{dt})^2+(\frac{dx}{dt})^2}dx\\...